The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → tt
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNePal(X) → isNePal(X)

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
a__and(tt, and(tt, X24836_0)) →⁺ a__and(tt, X24836_0)
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [].
The pumping substitution is [X24836_0 / and(tt, X24836_0)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → tt
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNePal(X) → isNePal(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → tt
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNePal(X) → isNePal(X)

Types:
a____ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
__ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
mark :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
nil :: __:nil:tt:and:isNePal
a__and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
tt :: __:nil:tt:and:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
hole___:nil:tt:and:isNePal1_0 :: __:nil:tt:and:isNePal
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:and:isNePal

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a____, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a____ = mark

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → tt
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNePal(X) → isNePal(X)

Types:
a____ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
__ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
mark :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
nil :: __:nil:tt:and:isNePal
a__and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
tt :: __:nil:tt:and:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
hole___:nil:tt:and:isNePal1_0 :: __:nil:tt:and:isNePal
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:and:isNePal

Generator Equations:
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0) ⇔ nil
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(+(x, 1)) ⇔ __(nil, gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
mark, a____

They will be analysed ascendingly in the following order:
a____ = mark

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Induction Base:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0)) →_R^Ω(1)
nil

Induction Step:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(+(n4_0, 1))) →_R^Ω(1)
a____(mark(nil), mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0))) →_R^Ω(1)
a____(nil, mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0))) →_IH
a____(nil, gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0)) →_R^Ω(1)
mark(nil) →_R^Ω(1)
nil

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → tt
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNePal(X) → isNePal(X)

Types:
a____ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
__ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
mark :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
nil :: __:nil:tt:and:isNePal
a__and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
tt :: __:nil:tt:and:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
hole___:nil:tt:and:isNePal1_0 :: __:nil:tt:and:isNePal
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:and:isNePal

Lemmas:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0) ⇔ nil
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(+(x, 1)) ⇔ __(nil, gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
a____

They will be analysed ascendingly in the following order:
a____ = mark

(12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a____.

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → tt
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNePal(X) → isNePal(X)

Types:
a____ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
__ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
mark :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
nil :: __:nil:tt:and:isNePal
a__and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
tt :: __:nil:tt:and:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
hole___:nil:tt:and:isNePal1_0 :: __:nil:tt:and:isNePal
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:and:isNePal

Lemmas:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0) ⇔ nil
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(+(x, 1)) ⇔ __(nil, gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(14) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(15) BOUNDS(n^1, INF)

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
a____(__(X, Y), Z) → a____(mark(X), a____(mark(Y), mark(Z)))
a____(X, nil) → mark(X)
a____(nil, X) → mark(X)
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNePal(__(I, __(P, I))) → tt
mark(__(X1, X2)) → a____(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNePal(X)) → a__isNePal(mark(X))
mark(nil) → nil
mark(tt) → tt
a____(X1, X2) → __(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNePal(X) → isNePal(X)

Types:
a____ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
__ :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
mark :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
nil :: __:nil:tt:and:isNePal
a__and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
tt :: __:nil:tt:and:isNePal
a__isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
and :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
isNePal :: __:nil:tt:and:isNePal → __:nil:tt:and:isNePal
hole___:nil:tt:and:isNePal1_0 :: __:nil:tt:and:isNePal
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0 :: Nat → __:nil:tt:and:isNePal

Lemmas:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

Generator Equations:
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0) ⇔ nil
gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(+(x, 1)) ⇔ __(nil, gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(x))

No more defined symbols left to analyse.

(17) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(n4_0)) → gen___:nil:tt:and:isNePal2_0(0), rt ∈ Ω(1 + n4₀)

(18) BOUNDS(n^1, INF)